Pembuktian Teorema Limit No. 7

Bukti :

berdasarkan teorema no. 6 dapat dilihat bahwa

berarti

jika n = 1/k, di dapatkan

atau dapat pula dituliskan sebagai

TERBUKTI.

Untuk teorema limit lainnya KLIK DISINI

Continue reading →

Pembuktian Teorema Limit No. 8

Bukti :

Untuk teorema limit lainnya KLIK DISINI

Continue reading →

Bilangan Prima Tak Berhingga ? Ini Buktinya !

Assalamu ‘alaikum,,

Terdapat teorema yang menyatakan bahwa banyak bilangan prima tak berhingga. Teorema tersebut dibuktikan oleh Euclid seorang matematikawan Yunani, tinggal di kota Alexandria, Mesir. Berikut adalah pembuktian teorema tersebut yang akan dibuktikan dengan kontradiksi :

Andaikan bahwa jumlah bilangan prima berhingga. Misalkan pula P adalah himpunan yang beranggotakan semua bilangan prima yang dinotasikan sebagai


Dengan r merupakan bilangan prima terbesar.

Selanjutnya, ambil bilangan asli N, dimana N merupakan hasil perkalian semua bilangan prima ditambah 1 atau ditulis sebagai

Menurut teorema fundamental aritmatika, N memiliki faktor prima karena N > 1. Oleh karena itu , akan ada bilangan prima x ϵ P sedemikian hingga x ǀ N. karena x ϵ P berarti x adalah salah satu dari 2,3,5,7,11, . . . , r, oleh karenanya



Sehingga menurut teorema (dibuktikan disini) didapatkan


Atau



Karena x positif, berarti x = 1. Kontradiksi dengan pernyataan sebelumnya yang menyatakan bahwa x adalah bilangan prima. Berarti dapat disimpulkan bahwa banyaknya bilangan prima tak berhingga. [Bukti Selesai]

Continue reading →

Pembuktian Teorema Mengenai Bilangan Prima (Bagian 1)

Assalamu 'alaikum,,

banyak sekali teorema yang berhubungan dengan bilangan prima, insya Allah di blog ini akan dibuktikan beberapa teorema tersebut. pembuktian teorema bilangan prima diawali dengan sebuah teorema yaitu :

Teorema :

Misalkan n = a + b , dengan a,b ϵ Z, dan p adalah bilangan prima sedemikian sehingga p ǀ n dan p ǀ a , maka p ǀ b.

Bukti :

Karena n =a+b, dengan a,b ϵ Z, dan p adalah bilangan prima sedemikian sehingga p ǀ n dan p ǀ a, maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga berakibat n = px dan a = py.

Karena n = a + b , berarti

b = n – a
b = px – py
b = p (x-y)
b = pz

dengan z juga bilangan bulat. Jadi terlihat bahwa p ǀ b.

Continue reading →

Pembuktian Rumus Banyak Subset Dalam Sebuah Himpunan

Assalamu ‘alaikum,,

Terdapat sebuah rumus yang menyatakan bahwa, sebuah himpunan dengan  “n” anggota memiliki himpunan bagian sebanyak 2 ⁿ. bagaimana cara membuktikannya ? berikut uraiannya :

Didefinisikan F merupakan sebuah himpunan dengan anggota sebanyak n, dapat dituliskan sebagai :

 

Ambil sebarang satu elemen dari himpunan F yaitu a_k dengan k ≤ n , kemudian pisahkan himpunan bagian dari himpunan F menjadi dua kelompok, yaitu kelompok yang memuat a_k dan kelompok yang tidak memuat a_k. kedua kelompok tersebut dapat dilihat pada tabel dibawah

Misalkan banyak himpunan bagian dari himpunan F dinyatakan dengan S(n) berarti banyak subset dari himpunan F yang tidak memuat a_k adalah S(n-1). Tabel di atas juga menunjukkan bahwa banyak subset dari himpunan F yang memuat a_k sama dengan yang tidak memuat a_k berarti

Hasil yang sama didapatkan apabila melakukan hal seperti di atas pada himpunan dengan (n-1) elemen , seperti berikut

Berarti

Sama dengan sebelumnya, akan didapatkan

Dengan melanjutkan hal yang sama hingga (n – 1) kali, didapatkan

Berarti

Karena banyak subset pada himpunan yang memiliki satu anggota adalah 2 atau S(1) = 2 , maka

Continue reading →

Pembuktian Rumus Suku Ke - n Barisan Fibonacci (Metode Induksi Matematika)

Assalamu 'alaikum,,,

pada kesempatan kali ini, saya akan berbagi mengenai pembuktian rumus suku ke - n barisan fibonacci, dimana rumusnya yaitu :

 untuk n = 1,2,3, . . .

Rumus di atas akan di buktikan dengan metode induksi matematika, uraiannya sebagai berikut :

Sebelum melanjutkan dengan induksi matematika terlebih dahulu akan di uraikan bentuk rumus suku ke-n , yaitu :

Selanjutnya akan dilakukan pembuktian, sebagai berikut :

Untuk n = 1

berarti benar untuk n = 1kemudian, untuk n = 2

berarti, untuk n = 2 juga benar

selanjutnya, asumsikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k-1 dan n = k yang dituliskan dengan

sekarang akan dilihat untuk n = k+1

Didapatkan persamaan untuk n = k+1.

Karena rumus tersebut benar untuk n=1 dan n=2 serta bernilai benar untuk n = k-1 dan n = k yang berimplikasi terhadap benarnya untuk nilai n =k+1, maka dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar untuk semua nilai n. [BUKTI SELESAI]

Continue reading →

Pembuktian Formula Euler (Cara Kalkulus)

Assalamu ,alaikum,,

Menurut Wikipedia, Rumus Euler (Euler's Formula) adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial.

Rumus euler dinyatakan sebagai :

Untuk membuktikan rumus di atas dapat dilakukan dengan beberapa cara, namun pada kesempatan kali ini, akan digunakan cara dalam kalkulus yaitu differensial dan integral.Insya Allah pada kesempatan selanjutnya akan dibuktikan untuk cara lainnya. berikut uraian pembuktiannya :

Misalkan

Berarti

untuk x = 0 , didapatkan

Continue reading →

Konstanta "e" dalam Matematika

Assalamu ‘alaikum,,

Mungkin teman-teman sekalian pernah atau bahkan sering melihat konstanta “e” dalam berbagai persamaan matematika. Bahkan bagi teman-teman yang memang sudah terjun kedalam dunia per-matematika-an sudah sangat akrab dengan konstanta yang satu ini. Sama dengan pi (π) dan konstanta golden ratio (ф), konstanta “e’ juga merupakan bilangan tak hingga desimal. Karena itulah “e” merupakan bilangan irrasional.

Konstanta “e” sering disebut dengan bilangan euler. Ini dimaksudkan untuk menghormati dan penghargaan atas ahli matematika swiss bernama Leonhard Euler. Namun, ada juga pihak yang menyebutkan bahwa konstanta e merupakan bilangan Napier. Ini juga sebagai bentuk penghargaan atas ahli matematika skotlandia John Napier yang merupakan orang yang pertama kali memperkenalkan konsep logaritma. Selain kedua nama tersebut bilangan ini juga biasa disebut bilangan natural atau bilangan alam. Dari ketiga nama tersebut, disini saya akan menggunakan sebutan bilangan euler.

Setelah mengetahui apa itu konstanta “e”, maka pertanyaan selanjutnya adalah berapa nilai bilangan euler itu sendiri?. Seperti dijelaskan pada paragraf awal di atas, bilangan euler merupakan bilangan irrasional sehingga memiliki tak hingga angka dibelakang koma. Dengan mengambil beberapa angka dibelakang koma, mak a nilai bilangan euler adalah sekitar 2,71828182845904523536 . . . . .

Dari mana nilai bilangan euler tersebut berasal ?. secara singkat, bilangan euler merupakan pendekatan limit bilangan menuju satu dari kanan dan memiliki pangakat menuju tak hingga, seperti berikut :

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa nilai e = 2,71828182845904523536 . . . . . . sebagai berikut :

Dengan menggunakan rumus binomial didapatkan :

karena x mendekati tak hingga, maka :

Selain dengan cara di atas, euler menunjukkan bahwa nilai “e” dapat dibuktikan melalui rumus

Dengan menggunakan rumus tersebut dapat dibuktikan dengan mudah bahwa e = 2,7182818284. . . . . .

Continue reading →

3 CARA MEMBUKTIKAN BAHWA AKAR 2 IRASIONAL

Pertanyaan dari (email) : M syaifuddin dan Ayu Astuti
Pertanyaannya sama, yaitu :

Bukti bahwa akar 2 adalah bilangan irasional !

PEMBUKTIAN :
Disini, kita akan membuktikan ke-irasionalan akar 2 dengan 3 cara , yaitu :

CARA PERTAMA

Andaikan akar 2 adalah bilangan rasional. Berarti akar 2 dapat disajikan dalam bentuk pecahan, yaitu:

Dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b tidak sama dengan 0. Tanpa mengurangi keumuman bukti, andaikan bahwa a dan b saling prima atau faktor persekutuan terbesarnya adalah 1. Sehingga berlaku :

Berarti "a kuadrat adalah bilangan genap, akibatnya a juga genap. Karena a genap berarti b ganjil, sebab a dan b saling prima. Berarti a dapat disajikan dalam bentuk

a = 2k

Untuk suatu k bilangan bulat. Berarti belaku

Didapatkan "b kuadrat" genap, sehingga b juga genap. Terdapat KONTRADIKSI dengan hasil b ganjil pada pernyataan sebelumnya. Berarti pengandaian akar 2 adalah bilangan rasional SALAH atau haruslah akar dua bilangan irasional.

CARA KEDUA

Pada cara yang kedua ini kita tetap menggunakan metode pembukian secara kontradiksi, namun berbeda dari cara sebelumnya, disini kita andaikan akar dua dapat dituliskan dalam bentuk desimal yang terbagi dalam dua kasus. Lebih jelasnya sebagai berikut :

KASUS 1

Andaikan dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, misal akar 2 = 1,abc . a , b dan c adalah bilangan bulat nonnegatif dengan c tidak sama dengan 0. Kalikan kedua ruas dengan 1000 kemudian kuadratkan, proses selengkapnya sebagai berikut :

Pada ruas kiri kita dapatkan bilangan yang berakhiran angka nol, ini tidak sesuai dengan ruas kanan karena di awal kita memisalkan c tidak sama dengan nol. berarti pengandaian bahwa akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal SALAH, akibatnya akar 2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau dengan kata lain  akar 2 adalah bilangan irasional. Pengandaian dalam bentuk desimal lain akan menghasilkan kesimpulan yang sama.

KASUS 2

Andaikan akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang, misal akar 2 = 1,abcabcabc.... a , b dan c adalah bilangan bulat nonnegatif. Proses atau langkah selanjutnya sebagai berikut

Perhatikan pada ruas kiri, jika diproses lebih lanjut maka akan menghasilkan angka satuan 2. Ini berbeda dengan kanan yang angka satuannya hanyalah angka yang dihasilkan dari kuadrat suatu bilangan, nilainya yaitu salah satu diantara 0, 1 , 4 , 5 , 6 atau 9. Berarti terjadi kontradiksi yang mengakibatkan pengandaian bahwa akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang adalah SALAH. Berarti haruslah akar 2 adalah bilangan irasional. Pengandaian dengan bentuk desimal yang lain akan menghasilkan kesimpulan yang sama.

CARA KETIGA (GEOMETRI)

Sama seperti cara pertama. Andaikan akar 2 adalah bilangan rasional. Berarti akar 2 dapat disajikan dalam bentuk pecahan, yaitu :

Dengan a dan b bilangan bulat serta b tidak sama dengan nol. Berarti didapatkan

 Dari persamaan tersebut, kita dapat menggambarkan persegi dengan luas (a x a) dan persegi yang lebih kecil yaitu b x b. Dimana luas persegi besar sama dengan 2 kali luas persegi kecil.

Lebih jelasnya, pehatikan gambar

Asumsikan “a” adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi persamaan

 untuk bilangan bulat “b” lainnya. Kemudian letakkan persegi biru dengan luas (b x b) diletakkan kedalam persegi putih yang luasnya (a x a) seperti pada gambar di bawah.

untuk bilangan bulat “b” lainnya. Kemudian letakkan persegi biru dengan luas (b x b) diletakkan kedalam persegi putih yang luasnya (a x a) seperti pada gambar di bawah.

Pada gambar di atas dapat dilihat dengan jelas bahwa :

1. Terdapat area persegi biru (persegi kecil) yang beririsan satu sama lain
2. Terdapat pula area persegi putih (persegi besar) yang tidak tertutupi oleh persegi biru.

Dari kedua pernyataan di atas dapat di simpulkan bahwa luas daerah irisan dua persegi biru (persegi biru gelap) akan sama dengan luas wilayah persegi putih yang tidak tertutupi oleh persegi biru. Itu karena jumlah luas kedua persegi biru sama dengan luas persegi putih. Panjang sisi persegi biru gelap dan putih kecil haruslah bilangan bulat, karena dihasilkan dengan mengoperasikan bilangan bulat. Misalkan panjang sisi persegi biru gelap dan putih kecil masing-masing adalah p dan q. Jadi diperoleh persamaan :

Pada persamaan di atas diketahui bahwa p lebih kecil dari a, ini kontradiksi dengan asumsi bahwa “a” adalah bilangan bulat terkecil. Ini berarti pengandaian awal yang menyatakan akar 2 adalah bilangan rasional TIDAK BENAR. Jadi haruslah akar 2 irrasional.

JIKA INGIN DOWNLOAD "3 CARA MEMBUKTIKAN BAHWA AKAR 2 IRASIONAL" KLIK LINK DIBAWAH INI :

DOWNLOAD

Continue reading →