Bilangan Prima Tak Berhingga ? Ini Buktinya !

Posted by Fandi on Friday, January 20, 2017 in Pembuktian | 1 comment

Assalamu ‘alaikum,,

Terdapat teorema yang menyatakan bahwa banyak bilangan prima tak berhingga. Teorema tersebut dibuktikan oleh Euclid seorang matematikawan Yunani, tinggal di kota Alexandria, Mesir. Berikut adalah pembuktian teorema tersebut yang akan dibuktikan dengan kontradiksi :

Andaikan bahwa jumlah bilangan prima berhingga. Misalkan pula P adalah himpunan yang beranggotakan semua bilangan prima yang dinotasikan sebagai


Dengan r merupakan bilangan prima terbesar.

Selanjutnya, ambil bilangan asli N, dimana N merupakan hasil perkalian semua bilangan prima ditambah 1 atau ditulis sebagai

Menurut teorema fundamental aritmatika, N memiliki faktor prima karena N > 1. Oleh karena itu , akan ada bilangan prima x ϵ P sedemikian hingga x ǀ N. karena x ϵ P berarti x adalah salah satu dari 2,3,5,7,11, . . . , r, oleh karenanya



Sehingga menurut teorema (dibuktikan disini) didapatkan


Atau



Karena x positif, berarti x = 1. Kontradiksi dengan pernyataan sebelumnya yang menyatakan bahwa x adalah bilangan prima. Berarti dapat disimpulkan bahwa banyaknya bilangan prima tak berhingga. [Bukti Selesai]