Posted by Fandi on Sunday, October 26, 2014 in sains | No comments
Teorema :
Untuk setiap grup G berlaku sifat-sifat berikut ini :
1. Terdapat dengan tunggal elemen identitas e Î G dengan sifat eg
= ge
= g
untuk setiap g Î G
2. Terdapat
dengan tunggal g’ atau g-1Î G dengan
g’
atau g-1 merupakan invers dari g Î G
3. Jika
a,b Î G maka
(ab)-1 = b-1 a-1
4. Untuk
setiap a Î G , berlaku (a-1)-1
= a
5. Hukum
kanselasi (pencoretan) kanan dan kiri
Kanselasi kanan : jika a x = b x
maka a
= b
Kanselasi kiri : jika a x = a y maka x
= y
Untuk setiap a,b,x,y
Î G
Bukti
:
1. Andaikan
elemen identitas dari G tidak tunggal, kemudian e dan e’ keduanya
merupakan identitas dari G, maka
berlaku
eg
= ge
= g
dan e’g = ge ‘= g
untuk setiap g Î G. kita akan menunjukkan bahwa e = e’. kita tahu bahwa e merupakan identitas dari G , berarti berlaku ee’ = e’
. . . (*). kita juga tahu dari pengandaian diawal bahwa e’ juga merupakan identitas dari G, sehingga berlaku ee’ = e . . . (**). Dengan menggabungkan
(*) dan (**) maka didapatkan e = ee’
= e’ atau e = e’. dari hasil
yang didapatkan berarti pengandaian di awal salah, jadi dapat disimpulkan hanya
terdapat dengan tunggal elemen
identitas dari G .
2. Andaikan
invers dari gÎ G tidak tunggal, kemudian g’ dan g’’ keduanya
merupakan invers dari g, maka
berlaku
g’g
= gg’=
e
. . . (*) dan g’’g
= gg’’=
e
. . . (**)
untuk setiap g Î G. seperti pada pembuktian pertama ,kita akan menunjukkan bahwa g’ = g’’ dengan menggunakan kontradiksi. Dengan menggabungkan (*) dan (**), maka akan didapatkan:
g’g = e
= g’’g atau
g’g
= g’’g , maka dengan
menggunakan hukum kanselasi kanan (akan dibuktikan selanjutnya)
didapatkan g’ = g’’. dari hasil yang
didapatkan berarti pengandaian diawal merupakan pernyataan salah, berarti dapat
disimpulkan bahwa hanya terdapat dengan tunggal invers dari g Î G.
3. Karena
a,b
Î G maka
berlaku abb-1a-1 =
aea-1 = aa-1 = e . . . (*), dengan cara sama
diperoleh b-1a-1ab
= e . . . (**). perhatikan bahwa (ab)
(ab)-1 = e . . . (#) dan (ab)-1(ab) = e . . . (##). dengan
menggabungkan (*) dengan (#) atau (**) dengan (##) maka
diperoleh :
-
abb-1a-1
= e = (ab) (ab)-1 berarti abb-1a-1 = (ab) (ab)-1
sehingga b-1a-1 =
(ab)-1 atau (ab)-1 =
b-1 a-1
-
b-1a-1ab
= e = (ab)-1(ab) berarti b-1a-1ab = (ab)-1(ab)
sehingga b-1a-1 =
(ab)-1 atau (ab)-1 =
b-1 a-1
4. perhatikan
bahwa a-1 (a-1)-1
= e berarti berlaku (a-1)-1
= e(a-1)-1 = aa’(a-1)-1 = ae = a. Berarti
(a-1)-1 = a
5. kanselasi
kanan
diketahui a x = b x karena
a,b,x,y
Î G dan
misalkan x’ Î G merupakan
invers dari x Î G berarti
berlaku
a x
= b
x
a xx’
= b
xx’
a e
= b
e
a =
b
kanselasi kiri
diketahui a x = a y karena
a,b,x,y
Î G dan misalkan a’ Î G merupakan
invers dari a Î G berarti
berlaku
a x
= a
y
aa’ x
= aa’
y
e x
= e
y
x =
y
jika ingin mendownload "Teorema Grup dan Pembuktiannya" silahkan klik link download dibawah ini :
0 komentar:
Post a Comment