Sunday, October 26, 2014

Teorema Grup dan Pembuktiannya

Posted by muhammad rifandi on Sunday, October 26, 2014 in | No comments

Teorema :                                                                                   
Untuk setiap grup G berlaku sifat-sifat berikut ini :
1. Terdapat dengan tunggal elemen identitas e Î G dengan sifat eg = ge = g untuk setiap g Î G
2. Terdapat dengan tunggal g’ atau g-1Î G dengan g’ atau g-1 merupakan invers dari g Î G
3. Jika a,b Î G maka (ab)-1 = b-1 a-1
4. Untuk setiap a Î G , berlaku (a-1)-1 = a
5. Hukum kanselasi (pencoretan) kanan dan kiri
    Kanselasi kanan                  :               jika a x = b x maka a = b
    Kanselasi kiri                      :               jika a x = a y maka x = y
Untuk setiap a,b,x,y Î G
Bukti :
1. Andaikan elemen identitas dari G tidak tunggal, kemudian e dan e’ keduanya merupakan identitas dari G, maka berlaku
eg = ge = g dan e’g = ge ‘= g
untuk setiap g Î G. kita akan menunjukkan bahwa e = e’. kita tahu bahwa e  merupakan identitas dari G , berarti berlaku ee’ = e’ . . . (*). kita juga tahu dari pengandaian diawal bahwa e’  juga merupakan identitas dari G, sehingga berlaku ee’ = e . . . (**). Dengan menggabungkan (*) dan (**) maka didapatkan e = ee’ = e’ atau e = e’. dari hasil yang didapatkan berarti pengandaian di awal salah, jadi dapat disimpulkan hanya terdapat dengan tunggal elemen identitas dari G .

2. Andaikan invers dari gÎ G tidak tunggal, kemudian g’ dan g’’ keduanya merupakan invers dari g, maka berlaku
g’g = gg’= e . . . (*) dan g’’g = gg’= e . . . (**)
untuk setiap g Î G. seperti pada pembuktian pertama ,kita akan menunjukkan bahwa g’ = g’’ dengan menggunakan kontradiksi. Dengan menggabungkan (*) dan (**), maka akan didapatkan:
g’g = e = g’’g atau g’g = g’’g , maka dengan menggunakan hukum kanselasi kanan (akan dibuktikan selanjutnya) didapatkan g’ = g’’. dari hasil yang didapatkan berarti pengandaian diawal merupakan pernyataan salah, berarti dapat disimpulkan bahwa hanya terdapat dengan tunggal invers dari g Î G.

3. Karena a,b Î G maka berlaku abb-1a-1 = aea-1 = aa-1 = e . . . (*), dengan cara sama diperoleh b-1a-1ab = e . . . (**). perhatikan bahwa (ab) (ab)-1 = e . . . (#) dan  (ab)-1(ab) = e . . . (##). dengan menggabungkan (*) dengan (#) atau (**) dengan (##) maka diperoleh :
-          abb-1a-1 = e = (ab) (ab)-1 berarti abb-1a-1 = (ab) (ab)-1 sehingga b-1a-1 = (ab)-1 atau (ab)-1 = b-1 a-1
-          b-1a-1ab = e = (ab)-1(ab) berarti b-1a-1ab = (ab)-1(ab) sehingga b-1a-1 = (ab)-1 atau (ab)-1 = b-1 a-1
4. perhatikan bahwa a-1 (a-1)-1 = e berarti berlaku (a-1)-1 = e(a-1)-1 = aa’(a-1)-1 = ae = a. Berarti 
(a-1)-1 = a

5. kanselasi kanan
diketahui a x = b x karena a,b,x,y Î G  dan misalkan x’ Î G  merupakan invers dari x Î G  berarti berlaku
a x = b x
a xx’ = b xx’
a e = b e
a = b
kanselasi kiri
diketahui a x = a y karena a,b,x,y Î G dan misalkan a’ Î G  merupakan invers dari a Î G  berarti berlaku
a x = a y
aa’ x = aa’ y
e x = e y
x = y

jika ingin mendownload "Teorema Grup dan Pembuktiannya" silahkan klik link download dibawah ini :

0 komentar:

Post a Comment