Teorema Aljabar Boolean dan Pembuktiannya

Posted by Fandi on Friday, August 15, 2014 in sains | 1 comment

                              

Teorema 1 (Hukum Idempotent)
Untuk setiap unsur x berlaku x + x = x dan x . x = x

Teorema 2 (Hukum Dominansi)
Untuk setiap unsur x berlaku x + 1 = 1 dan x . 0 = 0

Teorema 3 (Hukum Penyerapan)
Untuk setiap unsur x dan y berlaku x + x.y = x dan x . (x + y) = x

Teorema 4 (Hukum de Morgan)
Untuk setiap unsur x dan y berlaku (x . y)’ = x’ + y’ dan (x + y)’ = x’ . y’

Teorema 5 (Hukum 0/1)
0’ = 1 dan 1’ = 0

Teorema 6 (Hukum Involusi)
(x’)’ = x

Definisi (untuk teorema selanjutnya)
x dan y adalah unsur-unsur dari aljabar Boolean. Dinyatakan bahwa x lebih kecil daripada y (x <= y) jika dan hanya jika x + y = y.

Teorema 7
<= adalah suatu bagian dari urutan

Teorema 8
Jika x, y dan z adalah unsur-unsur dari aljabar Boolean, maka <= mempunyai sifat-sifat berikut ini:
(i) Jika x <= y dan x <= z, maka x <= yz.
(ii) Jika x <= y, maka x <= y + z untuk elemen z.
(iii) Jika x <= y, maka xz <= y untuk elemen z.
(iv) x <= y jika dan hanya jika y’ <= x’.

Bukti Teorema 2

x + 1  = x + (x + x’ )            komplemen

= (x + x) + x’              asosiatif

= x + x’                       identitas

= 1                              komplemen

x . 0   = x . (x  .  x’ )             komplemen

= (x  . x) .  x’               asosiatif

= x  .  x’                      identitas

= 0                              komplemen

Untuk melihat pembuktian teorema lainnya silahkan download file pdf dengan cara KLIK DISINI