Teorema Grup dan Pembuktiannya

Teorema :                                                                                   

Untuk setiap grup G berlaku sifat-sifat berikut ini :

1. Terdapat dengan tunggal elemen identitas e Î G dengan sifat eg = ge = g untuk setiap g Î G

2. Terdapat dengan tunggal g’ atau g^-1Î G dengan g’ atau g^-1 merupakan invers dari g Î G

3. Jika a,b Î G maka (ab)^-1 = b^-1 a^-1

4. Untuk setiap a Î G , berlaku (a^-1)^-1 = a

5. Hukum kanselasi (pencoretan) kanan dan kiri

    Kanselasi kanan                  :               jika a x = b x maka a = b

    Kanselasi kiri                      :               jika a x = a y maka x = y

Untuk setiap a,b,x,y Î G

Bukti :

1. Andaikan elemen identitas dari G tidak tunggal, kemudian e dan e’ keduanya merupakan identitas dari G, maka berlaku

eg = ge = g dan e’g = ge ‘= g

untuk setiap g Î G. kita akan menunjukkan bahwa e = e’. kita tahu bahwa e  merupakan identitas dari G , berarti berlaku ee’ = e’ . . . (*). kita juga tahu dari pengandaian diawal bahwa e’  juga merupakan identitas dari G, sehingga berlaku ee’ = e . . . (**). Dengan menggabungkan (*) dan (**) maka didapatkan e = ee’ = e’ atau e = e’. dari hasil yang didapatkan berarti pengandaian di awal salah, jadi dapat disimpulkan hanya terdapat dengan tunggal elemen identitas dari G .

2. Andaikan invers dari gÎ G tidak tunggal, kemudian g’ dan g’’ keduanya merupakan invers dari g, maka berlaku

g’g = gg’= e . . . (*) dan g’’g = gg’’= e . . . (**)

untuk setiap g Î G. seperti pada pembuktian pertama ,kita akan menunjukkan bahwa g’ = g’’ dengan menggunakan kontradiksi. Dengan menggabungkan (*) dan (**), maka akan didapatkan:

g’g = e = g’’g atau g’g = g’’g , maka dengan menggunakan hukum kanselasi kanan (akan dibuktikan selanjutnya) didapatkan g’ = g’’. dari hasil yang didapatkan berarti pengandaian diawal merupakan pernyataan salah, berarti dapat disimpulkan bahwa hanya terdapat dengan tunggal invers dari g Î G.

3. Karena a,b Î G maka berlaku abb^-1a^-1 = aea^-1 = aa^-1 = e . . . (*), dengan cara sama diperoleh b^-1a^-1ab = e . . . (**). perhatikan bahwa (ab) (ab)^-1 = e . . . (#) dan  (ab)^-1(ab) = e . . . (##). dengan menggabungkan (*) dengan (#) atau (**) dengan (##) maka diperoleh :

-          abb^-1a^-1 = e = (ab) (ab)^-1 berarti abb^-1a^-1 = (ab) (ab)^-1 sehingga b^-1a^-1 = (ab)^-1 atau (ab)^-1 = b^-1 a^-1

-          b^-1a^-1ab = e = (ab)^-1(ab) berarti b^-1a^-1ab = (ab)^-1(ab) sehingga b^-1a^-1 = (ab)^-1 atau (ab)^-1 = b^-1 a^-1

(setelah melihat foto-foto ini, mungkin kamu akan tergoda untuk pindah kedesa)

4. perhatikan bahwa a^-1 (a^-1)^-1 = e berarti berlaku (a^-1)^-1 = e(a^-1)^-1 = aa’(a^-1)^-1 = ae = a. Berarti 

(a^-1)^-1 = a

5. kanselasi kanan

diketahui a x = b x karena a,b,x,y Î G  dan misalkan x’ Î G  merupakan invers dari x Î G  berarti berlaku

a x = b x

a xx’ = b xx’

a e = b e

a = b

kanselasi kiri

diketahui a x = a y karena a,b,x,y Î G dan misalkan a’ Î G  merupakan invers dari a Î G  berarti berlaku

a x = a y

aa’ x = aa’ y

e x = e y

x = y

(setelah melihat foto-foto ini, mungkin kamu akan tergoda untuk pindah kedesa)

jika ingin mendownload "Teorema Grup dan Pembuktiannya" silahkan klik link download dibawah ini :

DOWNLOAD